П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

Тройные интегралы

П.1. Понятие тройного интеграла. Характеристики тройного интеграла

Пусть функция непрерывна в замкнутой области ( т.е. в области V места Оxyz). Разобьем область V сетью случайных гладких поверхностей на n простых областей ( ), объемы которых обозначим . В каждой простой области выберем произвольным образом точку ( ), умножим значение функции в этой точке на и составим П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат сумму всех таких произведений

(1)

Сумма (1) именуется интегральной суммой функции по области V.

Обозначим через наибольший поперечник простой области (наибольшее расстояние меж точками этой области).

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при ( ) и он не зависит ни от метода разбиения области V на простые области, ни от выбора точек в П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат их, то этот предел именуется тройным интегралом от функции по области V и обозначается либо .

Таким макаром, по определению, имеем

. (2)

Аксиома. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (2) при ( ) существует и не зависит ни от метода разбиения области V на простые части, ни от выбора П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат точек в их.

Характеристики тройного интеграла подобны свойствам двойного интеграла.

1. .

2. .

3. = + , где , а скрещение областей и состоит из границы, их разделяющей.

4. Если в области интегрирования , то и ; если в области V функция , то и .

5. Если в области V функция , то , где V – объем области интегрирования.

6. , где m и M – меньшее и П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат наибольшее значения функции в области V.

7. (аксиома о среднем значении). Если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует точка , такая что где V – объем области интегрирования.

п.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

В декартовой системе координат вычисление тройного интеграла сводится к поочередному вычислению П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат 3-х определенных интегралов.

Пусть область интегрирования V ограничена снизу поверхностью , сверху – поверхностью ( ), при этом и – непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией области Vна плоскостьОxy.

Пусть область V – верная в направлении оси Оz, т.е. неважно какая ровная, параллельная оси Оz, пересекает границу области менее чем в 2-ух точках П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Тогда для хоть какой функции , непрерывной в области V, справедлива формула

. (3)

Таким макаром, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла от определенного (в скобках). При всем этом поначалу рассчитывается внутренний интеграл по переменной z (при всем этом x и y – const), а потом – двойной по области D. Результатом вычисления П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат внутреннего интеграла является функция 2-ух переменных: x и y.

Если область D ограничена линиями , где и – непрерывные на отрезке функции, при этом , то, переходя в формуле (3) от двойного интеграла по области D к повторному, получим

. (4)

По формуле (4) рассчитывается тройной интеграл в декартовых координатах.

Замечания.

1.Аналогичным образом рассчитывается тройной П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат интеграл и в этом случае, когда область интегрирования является правильной в направлении осей Оx и Оy.

2.Если область V более непростая, чем рассмотренная выше, то ее следует разбить на конечное число областей, правильных в направлении какой-нибудь оси, и просуммировать результаты вычисления по этим областям.

3.Если область интегрирования – прямоугольный параллелепипед П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат, задаваемый неравенствами , то

. (5)

Пример 1. Вычислить , где область V ограничена поверхностями .

Решение. Чтоб отыскать интеграл, нужно осознавать, как смотрится область интегрирования V. Построим ее. Уравнения определяют в пространстве координатные плоскости Оyz, Оxz и Оxy соответственно, уравнение – плоскость, проходящую через точки и . Область интегрирования V представляет собой тетраэдр. Область V является правильной в направлении П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат оси Оz (как и в направлении осей Оx и Оy). Её проекция на плоскость Оxy – треугольник ОАВ, является правильной в направлении оси Оy (и оси Оx). В области V справедливы неравенства . Тогда, согласно формуле (4), имеем:

.

Пример 2. Вычислите , если область V ограничена сферой и плоскостями (1-ый октант).

Решение П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Область V ограничена снизу плоскостью и сверху – поверхностью Изобразим проекцию области V на плоскость Oxy.

х
у
0
Как следует,

.


p5-izomorfizmi-grupp-error-reference-source-not-found-.html
p61-03s611-07-s612-036-078-74-otchet-po-proektu-vnedrenie-tipovoj-modeli-sistemi-kachestva-obrazovatelnogo.html
p8-nasishennij-vodyanoj-par-po-davleniyam-tehnicheskaya-termodinamika.html